빈도 막대가 고르면 표준편차도 0일까

P(X=1)=P(X=7)=\frac12,\qquad P(Y=4)=1.

X의 확률 막대 높이가 같으면 표준편차도 0일까? 두 분포의 평균은 모두 4다.

\begin{aligned} V(X)&=\frac{(1-4)^2+(7-4)^2}{2}=9,\\ V(Y)&=0. \end{aligned}

따라서 $\boxed{\sigma(X)=3,\ \sigma(Y)=0}$ 이다. X의 막대 높이가 같다는 것은 두 값의 확률이 같다는 뜻이다. 값 자체가 같거나 평균에서 떨어지지 않았다는 뜻은 아니다.

그림의 가로축에는 값, 세로축에는 확률을 먼저 쓰게 하자. X는 평균 4에서 양쪽으로 3씩 떨어지고 Y는 항상 평균 4에 있다. ‘고르다’라는 표현이 확률을 말하는지 값을 말하는지 구별할 수 있다.

X의 확률을 유지한 채 세로축 눈금만 바꾸어 막대를 두 배 높게 그려도 표준편차는 그대로다. 계산에 사용한 값과 확률이 바뀌었는지 확인한다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#6 Two dreaded words, part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.