수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

접힌 두 삼각형의 정사영이 겹치면 넓이를 더해도 될까

A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,2), D(0,2,−2)입니다. 두 삼각형을 xy평면에 정사영하면 같은 직각삼각형이 됩니다. 각 넓이는2, 합은4, 덮인 영역은2입니다. 원래 두 삼각형 넓이 합은4√2입니다.

A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,2), D(0,2,−2)A(0,0,0),\ B(2,0,0),\ C(0,2,2),\ D(0,2,-2)

삼각형 ABC와 ABD를 xy평면에 정사영한다. 각각의 넓이 합과 실제 덮이는 영역의 넓이는 같은가?

C,D의 수선의 발은 모두(0,2,0)이다. 두 정사영은 같은 직각삼각형이라 각각 넓이 2다. 합은 4지만 한 번이라도 덮인 영역의 넓이는 2다.

SABC=SABD=12⋅2⋅22=22. S_{ABC}=S_{ABD}=\frac12\cdot2\cdot2\sqrt2=2\sqrt2.

원래 두 면의 넓이 합은 4√2다. 각 면의 정사영 넓이는 면과 평면의 각 45도를 써도 2로 확인된다.

접힌 두 면 전체에 하나의 평면 각을 붙이지 않는다. 답 4를 채점하기 전에 각 면의 넓이를 더했는지 덮인 영역을 셌는지 질문 이름부터 확인하자. 도식에서는 두 정사영이 완전히 겹친다는 점을 표시한다.

출처·착안: Mark Chubb, 「An Example of Teaching THROUGH problem solving?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.