첫째항과 셋째항이 양수여도 공비는 양수일까

a_1=4,\quad a_3=36

실수로 이루어진 등비수열의 $a_2$ , $a_4$ 를 구하라. 모든 항이 양수라는 조건은 주어지지 않았다.

\begin{gathered} a_3=a_1r^2\ \Rightarrow\ 4r^2=36\\ r=3\text{ 또는 }-3 \end{gathered}

공비	첫 네 항	$(a_2,a_4)$
$3$	$4,12,36,108$	$(12,108)$
$-3$	$4,-12,36,-108$	$(-12,-108)$

두 항의 부호는 같은 공비로 함께 정한다. $(12,-108)$ 처럼 서로 다른 경우를 섞은 쌍은 조건을 만족하지 않는다.

제곱한 관계에서 사라진 부호

$a_2^2=a_1a_3=144$ 로 시작해도 $a_2=\pm12$ 다. 제곱한 관계만으로 부호를 하나로 정하지 않는다.

“양수 둘 사이의 항이니 양수”라는 답에는 공비 $-3$ 인 행을 완성하게 한다. 한 번 곱하면 음수, 두 번 곱하면 양수가 되어 두 주어진 항이 양수인 이유를 볼 수 있다.

“모든 항이 양수”를 추가하면 공비는 3, 답은 $(12,108)$ 뿐이다. 풀이를 바꾸는 것은 숫자가 아닌 추가 조건이다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.