두 대입값으로 나머지가 정해지는 경우

P(1)=5,\quad P(-1)=1

다항식 $P(x)$ 를 $x^2-1$ 로 나눈 나머지를 구하시오. 같은 정보로 $(x-1)^2$ 로 나눈 나머지도 정해지는가?

서로 다른 두 값이 주는 조건

P(x)=(x^2-1)Q(x)+ax+b

\begin{gathered}a+b=5,\quad -a+b=1\\\therefore a=2,\quad b=3\end{gathered}

나머지는 $2x+3$ 이다. 일차식 또는 상수일 수 있도록 $ax+b$ 로 두고, 나누는 식이 0이 되는 두 값에서 남는 식을 읽는다. 이때 $a=0$ 인 가능성도 처음부터 배제하지 않는다.

$(x-1)^2$ 은 $x=1$ 에서만 0이 된다. $x=-1$ 을 넣으면 몫을 포함하는 항이 사라지지 않는다. 따라서 위의 두 줄을 그대로 사용해서는 안 된다.

실제로 $P_1(x)=2x+3$ , $P_2(x)=x^2+2x+2$ 는 둘 다 처음의 두 대입값을 만족한다. 하지만 $(x-1)^2$ 로 나눈 나머지는 각각 $2x+3$ , $4x+1$ 로 다르다.

Sarah Carter의 이웃한 두 식이 같은 인수를 갖는 퍼즐에서는 이웃한 조건을 모두 연결해야 빈 값이 정해진다. 여기서는 조건이 두 줄 있다는 사실보다 각 대입에서 몫의 항이 없어지는가를 묻게 바꾸었다.

교사가 나머지 문항을 준비할 때, 서로 다른 인수를 같은 인수의 반복으로 바꿨다면 필요한 정보도 함께 검토해야 한다. 식 모양만 바꾸고 같은 해설을 붙이지 않도록 두 예시 다항식을 확인 자료로 공유해 보자.