x로 나누는 한 줄에서 사라진 해 0

\begin{gathered}x^2=3x\quad\Rightarrow\quad x=3\\\text{예시 답안}\end{gathered}

이 방정식의 모든 실근을 구하고, 빠진 해가 생긴 줄을 설명하시오.

나눌 수 있다는 조건을 썼는가

양변을 $x$ 로 나누는 줄은 $x\ne0$ 일 때만 쓸 수 있다. 처음 문항에는 그런 조건이 없으므로 $x=0$ 도 확인해야 한다.

\begin{gathered}x^2-3x=x(x-3)=0\\\therefore x=0\text{ 또는 }3\end{gathered}

두 값은 원래의 식을 모두 만족한다. $x=0$ 에서는 양변이 0이고, $x=3$ 에서는 양변이 9다. 계산 결과 3이 맞다는 것만 확인하면 모든 해를 구했는지는 알 수 없다.

Jo Morgan의 인수분해 글 댓글은 식을 인수분해하는 일과 방정식의 해를 찾는 일을 연결해야 한다고 지적한다. 여기서는 인수분해가 해를 빠뜨리지 않고 찾는 역할을 하도록 새 답안을 구성했다.

경우	확인할 일
$x=0$	처음 식에 넣으면 성립한다.
$x\ne0$	양변을 $x$ 로 나누면 $x=3$ 이다.

인수분해 풀이와 나누는 풀이를 경쟁시키기보다, 두 풀이에 같은 해가 남는지 함께 검토한다. 교사에게 유용한 갈림길은 분모로 보낸 식이 0일 수 있는가다. 학생이 나누는 계산을 선호한다면 0인 경우를 먼저 적게 할 수 있다.

바로 이어 $x^2=0$ 을 주면 나누는 줄 자체를 사용할 수 없는 해만 남는다. ‘양변에 같은 계산을 했다’는 설명에도 계산이 가능한 조건이 필요하다는 점을 확인해 보자.

출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising Harder Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.