판별식 0만 찾으면 놓치는 일차방정식

\begin{gathered}(m-1)x^2-2x+1=0\\(m\text{은 실수})\end{gathered}

실근이 정확히 하나가 되도록 하는 $m$ 의 값을 모두 구하시오.

이차항부터 확인한다

$m=1$ 이면 이차항이 없어져 $-2x+1=0$ 이 된다. 이때 $x=\tfrac12$ 라는 하나의 실근이 있으므로 $m=1$ 은 답에 포함된다.

$m\ne1$ 일 때만 이차방정식의 판별식을 적용한다.

D=(-2)^2-4(m-1)=8-4m

이차방정식이 실근을 정확히 하나 가지려면 중근이어야 하므로 $D=0$ , 즉 $m=2$ 이다. 실제로 $m=2$ 에서는 $(x-1)^2=0$ 이 된다.

$m$ 의 조건	방정식과 실근
$m=1$	일차방정식, 하나
$m\ne1,\ m<2$	이차방정식, 서로 다른 두 실근
$m=2$	이차방정식, 중근
$m>2$	실근 없음

Jo Morgan 글에는 근의 공식을 항상 사용하는 방법에 대한 독자 질문이 나온다. 새 문항은 공식을 선택하기 전에 방정식의 차수가 유지되는지 확인하도록 만들었다.

교사끼리 ‘정확히 하나’ 문항을 검토할 때, 중근을 구하는 계산과 일차방정식이 되는 경우를 따로 채점할 수 있다. 이차항의 계수가 0일 수 있는가를 먼저 묻는 한 줄이 답의 누락을 막는다. 문제 제목이 이차방정식 단원이라는 이유로 모든 $m$ 에서 이차방정식이라고 가정하지 않도록 해설에도 조건을 남기자.

출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising Harder Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.