수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

실근이 두 개라는 말에 양수 조건을 더하면

두 실근의 존재와 두 근이 모두 양수인 조건을 따로 검토한다.

x2−6x+k=0(k는 실수) \begin{gathered}x^2-6x+k=0\\(k\text{는 실수})\end{gathered}

서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 kk의 범위를 구하시오.

확인할 조건 세 개

두 근을 α,β\alpha,\beta라고 하면 다음 조건을 함께 확인한다.

D=36−4k>0α+β=6>0αβ=k>0 \begin{gathered}D=36-4k>0\\\alpha+\beta=6>0\\\alpha\beta=k>0\end{gathered}

첫 조건은 서로 다른 두 실근, 마지막 두 조건은 두 근이 모두 양수임을 정한다. 실근의 곱이 양수면 두 근의 부호가 같고, 합이 양수면 그 같은 부호가 양수다. 따라서 정답은 0<k<90<k<9이다.

빠진 조건이 보이는 값

kk 실제 근 제외하는 이유
−7-7 −1,7-1,7 한 근이 음수다.
0 0,60,6 0은 양수가 아니다.
9 3,33,3 서로 다른 두 근이 아니다.

판별식만 보면 첫 두 줄을 놓친다. k≤9k\le9로 적으면 중근도 포함된다. 답에 붙은 부등호 하나마다 어떤 조건을 나타내는지 설명하게 하면 좋다.

Shaun Carter의 자료는 이차함수의 식과 그래프 설명을 맞춘다. 여기서는 그래프의 xx축과 만나는 두 점이 오른쪽에 있어야 한다는 설명을 근의 합·곱 조건으로 다시 읽도록 바꾸었다.

교사가 문항을 준비할 때 실근의 개수와 실근의 부호를 분리해서 확인해 보자. 학생이 조건을 셋 적어도 이유를 모르겠다고 하면 위 표의 세 값을 먼저 대입하게 할 수 있다. 그래프를 쓰는 해설에도 0과 중근을 제외하는 끝의 조건을 남겨야 한다.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.