수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

두 근을 직접 구하지 않고 분수식 읽기

두 근의 개별 값보다 합과 곱이 필요한 문항인지 확인한다.

x2−5x+3=0의 두 근을 α,β라 할 때 \begin{gathered}x^2-5x+3=0\\\text{의 두 근을 }\alpha,\beta\text{라 할 때}\end{gathered}
α+1β+β+1α \frac{\alpha+1}{\beta}+\frac{\beta+1}{\alpha}

의 값을 구하시오. 두 근의 정확한 값을 먼저 계산해야 할까?

분모가 0이 아닌지 먼저

α+β=5,αβ=3≠0 \alpha+\beta=5,\qquad\alpha\beta=3\ne0

곱이 0이 아니므로 두 분모는 모두 0이 아니다. 그 뒤 통분하면 필요한 것이 두 근 각각의 값보다 합과 곱임을 알 수 있다.

α2+β2+α+βαβ=(α+β)2−2αβ+(α+β)αβ \begin{gathered}\frac{\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta}{\alpha\beta}\\=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta+(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}\end{gathered}
=25−6+53=8 =\frac{25-6+5}{3}=8

Bowen Kerins의 글은 식을 바꾸면 가려져 있던 뜻이 드러난다는 인수분해의 목적을 논의한다. 새 문항은 근의 공식을 곧바로 적용하는 대신, 식을 정리해 이미 주어진 합과 곱을 읽는 방향으로 만들었다.

같은 답이어도 비교할 한 줄

근의 공식으로 α,β\alpha,\beta를 구하는 풀이도 옳다. 다만 두 긴 값을 분수에 넣기 전에 문항이 각각의 근을 요구하는가, 합과 곱으로 읽을 수 있는가를 확인해 보자. 답안에 분모의 조건과 통분한 분자를 남기면 계산의 선택을 함께 검토하기 좋다.

학생이 (α+1)/β(\alpha+1)/\beta를 α/β+1\alpha/\beta+1로 바꿨다면, 끝의 계산보다 통분 전에 잘못된 분수의 분리를 확인한다. 1도 β\beta로 나누어진다는 사실을 짚고 위의 통분 줄로 돌아오게 하자. 식의 길이를 줄이는 선택에는 각 항을 정확히 유지하는 조건이 따라온다.

출처·착안: Bowen Kerins, 「Factoring Non-Monic Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.