수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

두 변의 길이는 정해져도 x-y의 부호는 남는다

두 양의 길이가 주어져도 문자의 순서를 정하지 않으면 차의 부호는 결정되지 않는다.

x>0,y>0x+y=5,xy=4 \begin{gathered}x>0,\quad y>0\\x+y=5,\quad xy=4\end{gathered}

직사각형의 두 변의 길이를 x,yx,ycm라고 한다. x2+y2x^2+y^2와 x−yx-y를 구하시오. 이 질문의 답이 각각 하나인지 확인한다.

두 길이의 순서를 정했는가

x2+y2=(x+y)2−2xy=25−8=17 \begin{gathered}x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\\=25-8=17\end{gathered}
(x−y)2=(x+y)2−4xy=25−16=9 \begin{gathered}(x-y)^2=(x+y)^2-4xy\\=25-16=9\end{gathered}

첫 값은 17이고, 둘째 값은 33 또는 −3-3이다. (x,y)=(4,1)(x,y)=(4,1)과 (1,4)(1,4)가 모두 조건을 만족하므로 x−yx-y의 부호를 하나로 정할 수 없다.

(x,y)(x,y) x2+y2x^2+y^2 x−yx-y
(4,1)(4,1) 17 3
(1,4)(1,4) 17 −3-3

Sarah Carter가 소개한 넓이 퍼즐은 길이와 이차식을 연결한다. 새 문항에서는 같은 직사각형이라도 어느 변을 xx로 불렀는지에 따라 차의 부호가 바뀌게 했다.

답 하나를 원하면 질문도 바꾼다

‘긴 변에서 짧은 변을 뺀 값’을 묻거나 x≥yx\ge y라는 조건을 붙이면 답은 3cm이다. 처음 조건에서 xx를 가로, yy를 세로로 정했다는 것만으로는 가로가 더 길다는 결론이 나오지 않는다.

교사가 동료와 문항을 검토할 때 문자의 이름이 길이의 순서까지 정하는가를 확인해 보자. 정답만 3으로 작성해 두면 옳은 −3-3 답을 틀렸다고 처리할 수 있다. 이 문항에서는 합·곱으로 결정되는 값과 순서가 필요한 값을 한꺼번에 보여 주므로, 조건을 보완해야 할 위치도 분명하다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Quadratic Area Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.