두 그래프의 교점을 구한 뒤, 아래에 있는 범위를 묻다

1. 두 그래프의 교점의 $x$좌표를 구하라.

2. $f(x)\le g(x)$를 만족하는 실수 $x$의 범위를 구하라.

첫 질문에서는 두 함수의 값이 같아야 한다.

따라서 교점의 $x$좌표는 $-1,4$다. 둘째 질문은 두 점만 고르는 일이 아니다. $f(x)$의 값이 $g(x)$의 값보다 작거나 같은 곳을 모두 찾는 질문이다.

두 근 사이에서 곱이 음수이고, 경계에서는 0이므로 답은 $\boxed{-1\le x\le4}$다. 확인할 때 $x=0$이면 $f(0)=0$, $g(0)=4$다. 교점이 아닌 곳도 둘째 조건을 만족한다. $x=5$에서는 $15>9$여서 제외된다.

해외 글의 식과 그래프를 맞추는 구성에서 착안해, 한 그림에 묻는 두 질문을 달리했다. 교점의 위치와 두 그래프의 위아래 관계를 같은 답으로 처리하지 않도록 한 새 문항이다.

교사가 함께 공유할 갈림길은 두 그래프를 먼저 그릴지, 두 함수의 차를 먼저 만들지다. 차의 그래프를 그렸다면 그 그래프의 근은 두 교점의 $x$좌표에 대응한다는 말도 붙인다. 첫 그래프의 근과 혼동하면 $0,2$가 경계라는 다른 답을 만들 수 있다.

끝으로 둘째 조건을 $f(x)<g(x)$로 바꾼다. 교점에서는 두 값이 같으므로 양 끝을 제외해 $-1<x<4$가 된다. 질문이 바뀌었을 때 학생이 그림의 어느 부분을 다시 읽는지 확인해 보자.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.