각각 선택하거나 빼면 16가지, 정확히 두 개면?

\begin{gathered}\text{서로 다른 탐구 주제 }A,B,C,D\\\text{ 중에서 고른다.}\end{gathered}

질문 1: 하나도 고르지 않는 경우도 허용하고, 각 주제를 고르거나 고르지 않을 수 있다.

질문 2: 정확히 두 주제를 고른다.

첫 질문은 각 주제에 두 선택이 있다. 네 주제의 선택 여부를 각각 정하므로 $2^4=\boxed{16}$ 가지다. 그러나 둘째 질문에서 같은 계산을 쓸 수는 없다. 네 주제를 모두 고른 결과도, 하나도 고르지 않은 결과도 $2^4$ 안에 포함되어 있기 때문이다.

둘째 질문의 결과를 직접 쓰면

AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD

로 $\boxed{6}$ 가지다. 고르는 순서를 구별하지 않으므로 ${}_4C_2=6$ 과 같다. 첫 질문의 16가지를 선택한 개수로 나누면 $1+4+6+4+1=16$ 이다. 정확히 두 개를 고르는 6가지는 그중 한 부분이다.

“선택하는 문제니까 2ⁿ”이라는 답에는 선택 개수의 제한을 적게 한다. 정확히 두 개라면 여섯 결과를 직접 쓰는 방법으로 검산할 수 있다.

마지막으로 질문 1에서 하나도 고르지 않는 경우만 금지하면 15가지다. 이때 6가지로 바뀌는 것은 아니다. 적어도 하나와 정확히 두 개가 서로 다른 조건이기 때문이다.