A 또는 B가 포함된 세 명, 같은 팀을 두 번 세었다

A와 B 중 적어도 한 명을 포함하는 팀은 몇 가지인가?

학생 답: “A를 넣고 나머지 두 명을 고르면 ${}_5C_2=10$, B를 넣어도 10이므로 20가지입니다.” 어느 팀이 두 번 등장할까?

A와 B를 모두 포함한 팀이다. 세 번째 사람이 $C,D,E,F$ 중 하나인 $ABC,ABD,ABE,ABF$ 네 팀은 두 계산에서 각각 한 번씩 세었다. 한 번씩만 남기려면

가지다. 조건이 ‘적어도 한 명’이므로 두 명을 모두 포함한 팀도 허용된다. 네 팀을 전부 제외하려고 8을 빼면 ‘정확히 한 명’이라는 다른 질문의 답 12가 된다.

다른 방법으로 전체 팀 ${}_6C_3=20$에서 A와 B가 모두 없는 팀을 빼도 된다. 이 팀은 $C,D,E,F$ 중 세 명을 고르는 ${}_4C_3=4$가지이므로 역시 $20-4=16$이다.

학생이 20이라고 답하면 두 번 센 팀 네 개를 먼저 쓰게 한다. 정확히 한 명인 팀 12가지와 두 명 모두인 팀 4가지를 합해도 16가지다.

출처·착안: Natalie Turbiville, 「Wendy’s Letter Project (Permutations and Combinations)」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.