나란히 둔 두 책을 한 묶음으로 보면 안쪽 순서가 남는다

\begin{gathered}\text{서로 다른 책 }A,B,C,D,E\\\text{를 한 줄에 놓는다.}\end{gathered}

A와 B가 이웃하게 놓이는 방법을 구하라. 학생은 두 책을 한 묶음으로 보고 $4!=24$ 가지라고 썼다. 어느 순서가 빠졌을까?

묶음과 $C,D,E$ 를 서로 다른 네 대상으로 놓는 방법은 $4!=24$ 가지다. 그러나 묶음 안에는 AB와 BA 두 순서가 있다. 둘은 다른 책 배열이므로

4!\times2=\boxed{48}

가지다. 예를 들어 ABCDE와 BACDE는 같은 묶음 위치를 사용해도 서로 다른 결과다. 서로 다른 책이라는 조건이 안쪽 두 순서를 구별하게 한다.

이 방법이 빠뜨리거나 중복 세지 않는지도 확인하자. 조건을 만족하는 배열 하나에는 A와 B가 붙은 자리 하나가 있다. 그 두 책을 한 대상으로 바꾸면 네 대상의 순서 하나와 묶음 안의 순서 하나가 정해진다. 반대로 이 두 선택을 정하면 책 배열 하나가 만들어진다.

4!에서 멈춘 답에는 ABCDE와 BACDE를 나란히 적게 한다. 묶음의 위치가 같아도 서로 다른 책의 순서가 바뀌면 다른 결과다.

후속 질문으로 A와 B가 이웃하지 않는 방법을 묻자. 전체 $5!=120$ 가지에서 이웃하는 48가지를 빼면 $\boxed{72}$ 가지다. 모든 배열이 이웃하는 경우와 이웃하지 않는 경우 중 정확히 하나에 속한다는 이유를 덧붙인다.

출처·착안: Dan Meyer, 「Plates Without States」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.