수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

h가 작아져도, 분모의 h와 2h는 같은 역할이 아니다

같은 점의 변화라도 실제 입력 증가량과 분모가 다르면 극한값도 달라진다.

f(x)=x2−x,L=lim⁡h→0f(3+2h)−f(3)h f(x)=x^2-x,\qquad L=\lim_{h\to0}\frac{f(3+2h)-f(3)}h

학생은 분자가 f(3)f(3)의 변화이므로 L=f′(3)=5L=f'(3)=5라고 썼다. 분모를 어디에서 다시 읽어야 할까?

함수의 입력은 3에서 3+2h3+2h로 변한다. 증가량은 hh가 아니라 2h2h다. 미분계수의 정의에 맞추어 쓰면

f(3+2h)−f(3)h=2f(3+2h)−f(3)2h \frac{f(3+2h)-f(3)}h =2\frac{f(3+2h)-f(3)}{2h}

이다. h→0h\to0이면 2h→02h\to0이므로 오른쪽의 분수는 f′(3)f'(3)에 가까워진다. 따라서 L=2×5=10L=2\times5=\boxed{10}이다. 나눗셈을 하는 과정에서는 h≠0h\ne0이고, 0을 직접 넣는 계산은 하지 않는다.

전개로도 확인된다. f(3+2h)−f(3)=10h+4h2f(3+2h)-f(3)=10h+4h^2이어서 분수를 정리하면 10+4h10+4h, 극한값은 10이다. 분모를 2h2h로 바꾼 별도 질문에서는 5가 된다. 0에 가까워진다는 사실만으로 두 분모를 같은 것으로 처리할 수 없다.

전개로 답을 맞힌 학생에게는 2가 남는 이유를 묻는다. 입력을 3−h3-h로 바꾸면 증가량은 −h-h이므로 같은 분모 hh를 둔 극한값은 −5-5다. 부호까지 증가량에서 확인하게 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.