함수의 값이 0인 곳에서도 접선은 수평이 아닐 수 있다

계산 전에 예측하자. $p(1)=0$이므로 $p'(1)=0$일까?

0이 되는 것은 그래프 위의 점의 높이다. 접선의 기울기도 0이라는 결론은 따라오지 않는다. 두 인수를 곱한 식을 미분하면

이므로 $p'(1)=3+0=\boxed{3}$이다. $x=1$에서는 두 번째 항만 0이고 첫 번째 항은 남는다. 인수 하나의 값이 0이라고 곱의 도함수 전체까지 0으로 만드는 답을 점검할 수 있다.

이 단원에서 전개를 먼저 했다면 $p(x)=x^3-x^2+2x-2$, $p'(x)=3x^2-2x+2$로 구해도 된다. 역시 1을 넣으면 3이다. 어떤 계산을 택해도 함수의 값과 도함수의 값은 서로 다른 질문이다.

답을 맞힌 학생도 $p(1)$과 $p'(1)$을 말로 구별하게 한다. “0이라서”라는 설명만 들었다면 무엇의 값이 0인지 다시 받아 적을 필요가 있다.

접선까지 쓰면 $(1,0)$에서 $y=3(x-1)$이다. 높이는 0이지만 수평선은 아니다. 마지막 확인은 이 직선이 $(1,0)$을 지나고 기울기가 3인지 두 조건으로 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.