수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

합성함수의 미분계수, 바깥 함수에는 어느 값을 넣을까

자료 표에서 바깥 도함수의 입력을 정확히 고르는 합성함수의 미분법 문항.

h(x)=f(g(x)) h(x)=f(g(x))

두 함수는 필요한 점의 주변에서 미분가능하다. 다음 자료만으로 h′(1)h'(1)을 구하자.

자료 값
g(1)g(1) 2
g′(1)g'(1) −3-3
f′(1)f'(1) 8
f′(2)f'(2) 4

한 학생이 8×(−3)=−248\times(-3)=-24라고 썼다. 미분법의 곱셈은 기억했지만, 바깥 함수의 입력을 다시 확인해야 한다.

h′(1)=f′(g(1))g′(1)=f′(2)⋅(−3)=−12 h'(1)=f'(g(1))g'(1)=f'(2)\cdot(-3)=\boxed{-12}

1이 먼저 들어가는 함수는 gg다. 그 함수가 내놓는 2를 ff의 입력으로 읽는다. 그래서 바깥 도함수에도 2를 넣는다. 자료의 f′(1)=8f'(1)=8은 이번 계산에 쓰이지 않는다. 모든 숫자를 사용해야 한다는 조건도 없다.

학생이 선택한 8은 어느 함수의 값일까? 곱셈을 다시 시키기 전에 1→21\to2를 적고, 바깥 도함수에 넣을 값을 표시하게 한다.

자료가 서로 모순되지 않는지도 확인할 수 있다. 예를 들어 f(x)=−2x2+12xf(x)=-2x^2+12x, g(x)=5−3xg(x)=5-3x는 표를 모두 만족한다. 이를 합성해 직접 미분해도 h′(1)=−12h'(1)=-12다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.