도함수가 0인 두 점, 극소가 되는 점은 하나다

함수 $f$는 모든 실수에서 미분가능하다. 학생이 “$f'(-2)=f'(1)=0$이므로 두 점에서 모두 극값을 갖는다”라고 썼다. 두 점의 좌우에서 무엇을 더 볼까?

$(x-1)^2$은 $x=1$을 제외하면 양수다. 도함수의 부호는 $x+2$가 정한다.

$x=-2$를 지나면 감소에서 증가로 바뀌므로 $f$는 그 점에서 극소다. $x=1$에서는 도함수가 0이어도 양쪽의 부호가 양수다. 함수가 증가하다가 계속 증가하므로 극대도 극소도 아니다.

다만 $f(-2)$의 값은 주어지지 않았으므로 극솟값을 숫자로 쓸 수는 없다. 도함수로 위치를 알아냈다는 말과 함수의 높이를 알아냈다는 말도 구별한다.

극소의 근거는 ‘도함수가 음수에서 양수로 바뀐다’는 설명이다. $f'(1)=0$이라는 계산만 틀렸다고 처리하면 학생이 맞게 찾은 정보를 버리게 된다. 추가해야 할 조건을 한 줄 받아 보자.

출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.