접선으로 계산한 1.3은 실제 함수값 1.331과 왜 다를까

$x=1$에서의 접선으로 $f(1.1)$을 계산한 학생은 1.3을 얻었다. 두 값 중 하나를 오답으로 처리해야 할까?

접점은 $(1,1)$, 기울기는 $f'(1)=3$이므로 접선은 $y=1+3(x-1)$이다. 이 직선에 1.1을 넣으면 1.3이다.실제 함수값을 구하라는 질문에는 1.331, 접선으로 근사하라는 질문에는 1.3이라고 써야 한다. 계산 대상이 다르다.

접선에서 얻는 값은 $1+3h$이고, 실제 값과의 차이는 $3h^2+h^3$이다. $h=0.1$이면 차이는 0.031이다. 작은 항이라고 해서 원래의 식에서 그 항이 0이 되는 것은 아니다. 등호로 연결하려면 남은 항까지 써야 한다.

반대쪽도 확인하자. $h=-0.1$이면 실제 값은 0.729, 접선의 값은 0.7, 차이는 0.029다. 두 방향 모두 가까운 값이지만 오차가 정확히 같지는 않다. 그래프의 확대만으로 이 숫자 차이를 알아낼 수는 없으므로 전개식과 함께 읽는다.

학생의 1.3 옆에 틀렸다고 표시하기 전에 ‘어느 식에 1.1을 넣었는가’를 받아 적으면, 근사를 정확한 값으로 바꿔 쓴 부분을 확인할 수 있다.

출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.