수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

도함수를 알 때도 함수의 높이는 한 가지로 정해지지 않는다

같은 도함수를 가진 함수 두 개를 만들고 함숫값을 정할 추가 조건을 고른다.

f′(x)=2x−2(x∈R) f'(x)=2x-2\qquad(x\in\mathbb R)

이 정보만으로 f(2)f(2)를 구할 수 있을까? 구할 수 없다면 어떤 조건 하나를 더 주면 될까?

도함수를 적분하면 f(x)=x2−2x+Cf(x)=x^2-2x+C다. 따라서 f(2)=Cf(2)=C이므로 숫자는 아직 정해지지 않는다. 예를 들어 x2−2xx^2-2x와 x2−2x+7x^2-2x+7은 모두 도함수가 2x−22x-2지만, 2에서의 값은 각각 0과 7이다. 같은 기울기 정보로 높이까지 고를 수는 없다.

이제 f(0)=3f(0)=3이라는 조건을 추가하자. 02−2⋅0+C=30^2-2\cdot0+C=3에서 C=3C=3이므로

f(x)=x2−2x+3,f(2)=3 f(x)=x^2-2x+3,\qquad \boxed{f(2)=3}

이다. 적분상수를 쓰고 끝내는 풀이와, 주어진 함수값으로 상수를 결정하는 풀이를 나누어 볼 수 있다. 반대로 f′(0)=−2f'(0)=-2라는 조건을 추가해도 처음 식에 이미 들어 있는 정보라서 CC는 결정되지 않는다.

가능한 함수 두 개를 학생이 제시하게 한다. ‘조건이 부족하다’만으로 끝내지 않고, f(0)=3f(0)=3은 도움이 되고 f′(0)=−2f'(0)=-2는 도움이 되지 않는 이유까지 쓰게 한다. 추가 조건을 학생이 고르는 문제로 확장할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.