한 점의 기울기가 0이어도 구간 전체에서는 증가한다

학생은 “0에서 기울기가 0이므로 $f$는 모든 실수에서 증가함수가 아니다”라고 말했다. 구간에서의 증가를 판단하려면 무엇을 비교해야 할까?

증가함수라는 말은 서로 다른 두 입력 $x_1<x_2$에 대해 항상 $f(x_1)<f(x_2)$가 성립한다는 뜻이다. 한 점의 도함수 값만으로 그 비교를 대신할 수 없다.

첫 인수는 양수다. 두 번째 인수는 $(x_2+x_1/2)^2+3x_1^2/4$이고, 서로 다른 두 입력에서는 0이 될 수 없다. 따라서 차이는 양수다. $f$는 모든 실수에서 증가함수다.

도함수로 보면 $f'(x)=3x^2$이고, 0을 제외하면 양수다. 0에서 접선이 수평이라는 사실은 맞다. 그러나 함수가 0 근처의 일정한 구간에서 같은 값을 유지한다는 뜻은 아니다. $f(-0.1)<f(0)<f(0.1)$도 직접 확인할 수 있다.

두 입력의 차이로 증가함수의 정의를 확인한다. ‘도함수가 양수이면 증가한다’는 충분한 조건을, ‘증가하려면 모든 점에서 양수여야 한다’로 바꾸어 말한 부분을 찾아본다. 수평 접선과 일정한 구간을 같은 말로 쓰지 않게 하는 후속 질문도 좋다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.