역함수의 기울기를 구할 때는 먼저 대응하는 점을 찾는다

$f$의 정의역과 공역은 모두 실수 전체다. 역함수 $g$의 $g'(1)$을 구하자. 다음 중 어느 풀이의 입력이 맞을까?

가: $g'(1)=1/f'(1)=1/(e+1)$
나: $f(0)=1$이므로 $g'(1)=1/f'(0)=1/2$

역함수는 입력과 출력을 서로 바꾼다. $g$의 입력 1에 대응하는 $f$의 입력은 0이다. $f(g(x))=x$를 미분하면

이고, $g(1)=0$, $f'(0)=e^0+1=2$이므로 $\boxed{g'(1)=1/2}$다. 역수를 취한다는 규칙을 기억해도, 어느 점의 기울기를 뒤집는지 틀리면 답이 달라진다.

역함수가 존재하는 조건도 확인한다. $f'(x)=e^x+1>0$이어서 $f$는 증가하며, $x$가 양·음의 무한대로 갈 때 함수값도 각각 양·음의 무한대로 간다. 연속이므로 모든 실수 출력에 대응하는 입력이 하나씩 있다. 이번 대응점에서는 $f'(0)\ne0$이므로 역함수의 미분법도 적용된다.

$(0,1)\to(1,0)$을 먼저 표시하게 한다. 가의 답에는 역수를 틀렸다고만 적기보다 $f'(1)$이 어느 점의 기울기인지 쓰게 하면 수정할 위치가 선명해진다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.