미분한 뒤 0을 넣는 순서는 이계도함수에서도 중요하다

학생은 “$f'(0)=0$을 한 번 더 미분하면 0이므로 $f''(0)=0$”이라고 썼다. 점의 값과 함수의 식은 어느 순간 달라졌을까?

먼저 $f'(x)=2xe^{x^2}$다. $x=0$을 넣어 얻는 0은 이 함수의 한 점에서의 값이다. 도함수 전체가 상수함수 0이라는 뜻은 아니다. 이계도함수를 구하려면 $f'(x)$의 식을 한 번 더 미분해야 한다.

$2x$를 미분한 첫 항이 남는다. $x=0$을 미리 넣으면 그 항을 만들어 낼 함수의 변화를 지워 버린다. ‘미분하고 대입한다’는 순서를 도함수의 값과 이계도함수의 값에서 각각 확인할 수 있다.

정의로도 점검된다. $f'(h)=2he^{h^2}$, $f'(0)=0$이므로 $h\ne0$에서 미분계수의 정의에 나오는 분수는 $2e^{h^2}$이고, $h\to0$이면 2다. 첫 도함수의 값이 0이어도 그 값이 근처에서 변하는 속도는 0일 필요가 없다.

곱을 미분한 두 항이 어디에서 나왔는지 확인한다. 학생이 ‘0의 미분은0’이라고 말한 부분 자체는 맞다. 다만 그 상수0으로 $f'(x)$ 전체를 바꾼 단계가 이번 풀이의 오류다. 함수의 식을 유지한 채 두 번째 미분을 쓰게 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.