이계도함수가 0이라는 계산만으로 변곡점을 결정하지 않는다

두 함수는 모두 $x=0$에서 이계도함수가 0이다. 두 그래프의 원점은 모두 변곡점일까?

$f''(x)=12x^2$는 0의 양쪽에서 양수다. 그래프는 양쪽 모두 아래로 볼록이며, 볼록한 방향이 바뀌지 않는다. 따라서 $(0,0)$은 $f$의 변곡점이 아니다.

$g''(x)=6x$는 0의 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수다. 그래프가 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀌므로 $(0,0)$은 $g$의 변곡점이다.

‘0을 찾았다’는 계산은 두 함수에서 모두 맞지만 결론은 다르다. 이번 다항함수에서는 이계도함수의 부호가 좌우에서 바뀌는지까지 확인해야 한다. 이계도함수 값 하나를 그래프 모양 변화 전체의 근거로 쓰지 않는다.

두 그래프의 볼록한 방향을 예측한 뒤 부호 표로 확인한다. 원점에서 접선이 수평이라는 이유로 변곡점이라고 한 답에는, 두 함수의 접선이 모두 수평인데 왜 결과가 다른지도 묻자. 극값을 판단하는 도함수의 부호 변화와 변곡점을 판단하는 이계도함수의 부호 변화를 구분해 기록할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.