속도를 적분한 값과 실제로 움직인 거리는 언제 달라질까

v(t)=t-1\qquad(0\le t\le3)

수직선 위 점의 속도 단위는 m/s, 시간 단위는 초다. 이3초 동안의 위치 변화와 이동 거리를 각각 구하자. 한 학생은 두 답을 모두 $3/2$ m라고 썼다.

위치 변화는 속도의 정적분이다.

\int_0^3(t-1)\,dt=\left[\frac{t^2}2-t\right]_0^3=\frac32

처음 위치보다 마지막 위치가 $3/2$ m만큼 양의 방향에 있다. 그러나 점은 $0\le t<1$ 에서 음의 방향으로 움직인 뒤, $1<t\le3$ 에서 양의 방향으로 움직인다. 되돌아간 구간도 이동 거리에 더해야 한다.

\int_0^1(1-t)\,dt+\int_1^3(t-1)\,dt=\frac12+2=\boxed{\frac52}

첫 구간의 위치 변화는 $-1/2$ m이고 이동 거리는 $1/2$ m다. 둘째 구간의 이동 거리2m와 더하면 $5/2$ m가 된다. 위치 변화를 구할 때는 부호를 유지하고, 이동 거리를 구할 때는 속도의 절댓값을 적분한다.

속도 그래프의 두 삼각형과 수직선 위의 왕복을 함께 확인한다. 두 답을 모두 $3/2$ 라고 한 풀이에는 계산 전체를 지우기보다, 그 값이 위치 변화라는 설명은 남겨 보자. 처음 위치가 주어지지 않아도 두 양을 구할 수 있지만 마지막 위치의 숫자는 정할 수 없다는 후속 질문도 가능하다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.