수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

역함수의 식을 구하기 전에, 정의역부터 확인한다

x²-4라도 [0,3]에서 보면 역함수가 존재하고 [-3,3]에서 보면 존재하지 않습니다.

f:X→[−4,5],f(x)=x2−4 f:X\to[-4,5],\quad f(x)=x^2-4
A X=[0,3]B X=[−3,3] \text{A }X=[0,3]\qquad\text{B }X=[-3,3]

각 경우에 역함수가 존재하는지 판단하고, 존재하면 식과 정의역을 적어라. 조건을 한 가지씩 바꾸어 비교하려고 만든 문항이다.

A에서는 0≤x≤30\le x\le3이므로 서로 다른 입력의 함숫값이 다르고 치역은 [−4,5][-4,5]다. 따라서 일대일 대응이고 다음 역함수가 존재한다.

f−1(x)=x+4−4≤x≤5 \begin{gathered} f^{-1}(x)=\sqrt{x+4}\\ -4\le x\le5 \end{gathered}

제곱근 안이 음수가 아니면 된다는 이유로 정의역을 x≥−4x\ge-4라고 쓰면, 원래 공역의 끝점 5가 사라진다. f−1(12)=4f^{-1}(12)=4라는 계산은 식에서는 가능해도 이번 역함수에서는 허용되지 않는다.

B에서 끊기는 지점

f(−1)=f(1)=−3 f(-1)=f(1)=-3

B에서도 공역과 치역은 같다. 그러나 두 입력이 같은 값으로 가므로, 되돌릴 때 −3-3에서 −1-1과 1 중 하나를 고를 수 없다. 역함수는 존재하지 않는다.

A와 B의 차이를 “제곱근 앞의 부호”만으로 설명하지 않는다. 먼저 어느 입력들을 허용했는지, 그리고 하나의 값에서 되돌아갈 입력이 하나인지 확인한다.

수업에서는 역함수 계산에 앞서 A의 끝점 두 쌍 0→−40\to-4, 3→53\to5를 표시하게 한다. 이렇게 남긴 공역이 역함수의 정의역으로 이어지는지 답안에서 바로 볼 수 있다.

“일대일 함수이면 충분하다”는 답에는 공역 전체가 치역과 같은지도 덧붙여 묻는다. 이번 A가 역함수를 갖는 이유는 두 조건이 함께 성립하기 때문이다.

원문의 역함수 지도 고민을, 같은 식에 서로 다른 정의역을 주고 존재와 범위를 판정하는 문항으로 재구성했다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Functions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.