로그를 한 개로 합치면 음수인 해도 되살아날까

\begin{gathered} \text{A }\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\\ \text{B }\log_2(x^2-1)=3 \end{gathered}

실수 $x$ 에 대해 각각의 해를 구하라.

식	진수의 조건	해
A	$x-1>0,\ x+1>0$	$x=3$
B	$x^2-1>0$	$x=-3,3$

A의 조건은 $x>1$ 이다. 이 조건에서 로그의 합을 묶으면 다음과 같다.

\begin{gathered} \log_2\{(x-1)(x+1)\}=3\\ x^2-1=8\ \Rightarrow\ x=\pm3 \end{gathered}

후보 중 $x>1$ 에 맞는 값은 3뿐이다. B에서는 $x<-1$ 또는 $x>1$ 이므로 두 후보 모두 해다.

계산보다 먼저 물을 한 가지

학생이 A의 답을 $\pm3$ 으로 쓰면 $x=-3$ 에서 원래 두 로그의 진수를 각각 적게 한다.

x-1=-4,\quad x+1=-2,\quad(-4)(-2)=8

곱은 양수지만 두 진수는 음수다. 합친 식 하나에만 대입하면 이 차이가 걸러지지 않는다.

A를 B의 식으로 바꾸어 쓸 때는 $x>1$ 도 함께 남긴다. 두 식의 계산에서 같은 후보가 나와도, 원래의 조건이 다르면 정답은 달라진다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Logs」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.