평균을 제곱한 25, 점수 제곱의 평균도 25일까

P(X=2)=P(X=5)=P(X=8)=\frac13.

$\{E(X)\}^2$ 와 $E(X^2)$ 는 같은 값일까? 각각 무엇을 먼저 제곱하는지 써 보자.

\begin{aligned} E(X)&=5,\qquad\{E(X)\}^2=25,\\ E(X^2)&=\frac{4+25+64}{3}=31. \end{aligned}

분산은 $\boxed{V(X)=31-25=6}$ 이다. 평균 5에서 떨어진 거리를 직접 제곱해도 $(9+0+9)/3=6$ 으로 일치한다.

각 값을 제곱한 뒤 평균내는 것과 평균을 먼저 제곱하는 것은 다르다. 두 결과가 같아 분산이 0이면 확률이 양수인 값들이 모두 평균과 같아야 한다. 항상 5인 분포에서는 두 제곱 계산이 25로 같다.

확률 1/3을 지우지 말자. 가능한 값의 산술평균을 사용하는 근거는 이 문항의 세 확률이 같다는 조건이다. 제곱 대상과 확률을 곱하는 줄을 각각 확인한다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Teaching Probability with Deal or No Deal」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.