신뢰구간 길이 1 이하, 필요한 표본 수는 1,537개일까

신뢰구간 길이 1 이하, 필요한 표본 수는 1,537개일까

X∼N(m,102),신뢰구간의 전체 길이≤1 X\sim N(m,10^2),\qquad \text{신뢰구간의 전체 길이}\le1

모표준편차 10을 알고 독립적으로 임의추출한다. 교재의 95% 공식으로 조건을 만족하는 최소 표본 수를 구하자. 99% 공식에서는 얼마일까?

2(1.96)(10)n≤1 ⟺ n≥1536.64. \frac{2(1.96)(10)}{\sqrt n}\le1 \ \Longleftrightarrow\ n\ge1536.64.

n은 양의 정수이므로 최소 1537\boxed{1537}개다. 99%의 상수 2.58을 쓰면 n≥2662.56이어서 최소 2663개다.

전체 길이는 구간 길이의 절반의 두 배다. 이를 먼저 표시하고 정수 선택 뒤 원래 부등식에 대입하자. 1536개에서는 길이가 1보다 커서 조건을 어긴다.

같은 목표 길이에서 신뢰도를 높이면 필요한 표본 수도 늘어난다. m의 값은 구간 중심과 관계되지만 현재 길이식에는 들어가지 않는다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#14 How confident are you? part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.