기울기가 같다는 답, 평행과 일치는 어디서 갈릴까

두 직선이 일치하는 $k$를 구하고, 나머지 $k$에서는 어떤 위치관계인지 설명하라. $k$는 실수다.

기울기는 어떤 $k$에서도 같다. $y$절편까지 같을 때 두 직선이 일치하므로 $k/6=2$, 즉 $k=12$다.

“평행”이라고 적기 전 마지막 한 칸

계수 2와 4, $-3$과 $-6$의 비만 보고 모든 경우에 평행이라고 쓰면, 상수항까지 같은 비인지 확인하게 한다. $k=12$일 때 두 번째 식은 첫 번째 식의 두 배다.

직선 하나 위의 점을 구해 다른 식에 넣어도 구분할 수 있다. $\ell_1$ 위의 점 $(0,2)$를 $\ell_2$에 대입하면 $-12+k=0$이므로 역시 $k=12$를 얻는다.

$k\ne12$이면 두 식을 연립했을 때 모순이 생겨 만나는 점이 없다. “기울기가 같다”는 정보 뒤에 절편 또는 공통인 점의 유무를 확인해야 위치관계가 결정된다.

그래프를 준비한다면 $k=0$과 $k=12$를 따로 그린다. 같은 기울기인 두 선이 떨어져 있는 그림과 완전히 겹친 그림을 구별해서 보여 줄 수 있다.

교사는 수직·평행 규칙을 연달아 외우게 하기 전에, 이번처럼 한 규칙으로 갈리지 않는 후보를 넣어 볼 수 있다. 조건을 어디까지 사용했는지가 짧은 답안에서도 보인다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Linear Graphs」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.