두 집단의 분산이 각각 1, 합쳐도 분산은 1일까

A:\ 0,2,\qquad B:\ 8,10

각 집단에서는 두 값을 같은 확률로 고른다. C는 네 값 0, 2, 8, 10을 각각 확률 1/4로 고른다. A와 B의 분산이 각각 1이면 C도 1일까?

평균은 A에서 1, B에서 9, C에서 5다. C의 분산은 새 평균 5를 기준으로

\begin{aligned} V(C)&=\frac{(0-5)^2+(2-5)^2}{4}\\ &\quad+\frac{(8-5)^2+(10-5)^2}{4}\\ &=\frac{25+9+9+25}{4}=\boxed{17}. \end{aligned}

이다. 집단 안에서의 제곱 거리 평균 1만 남기면 평균 1과 9가 전체 평균 5에서 떨어진 차이가 빠진다. 이번 값에서는 17=1+16으로도 확인된다.

답안의 분모 4와 함께 네 거리의 기준이 5인지 보자. B도 0,2로 바꾸면 전체 평균은 1이고 분산도 1이다. 집단을 합치면 무조건 분산이 커진다는 규칙을 만들지 않는다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#7 Two dreaded words, part 2」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.