표본을 네 배 모으면 신뢰도도 네 배가 될까

\begin{aligned} X&\sim N(m,10^2),\qquad \bar x=50,\\ &\text{신뢰도 }95\%. \end{aligned}

알려진 모표준편차 10으로 독립적인 임의표본을 얻었다. n=25와 100에서 관찰 평균을 모두 50으로 정해 모평균의 신뢰구간을 비교하자.

\begin{aligned} n=25&:\ [46.08,53.92],\\ n=100&:\ [48.04,51.96]. \end{aligned}

구간 길이의 절반은 $1.96\times10/\sqrt n$ 이다. 표본 수를 네 배로 늘리면 구간 길이는 7.84에서 3.92로 절반이 되지만 신뢰도는 둘 다 95%다.

두 중심을 같게 정한 비교 조건을 남기자. 실제 다른 표본에서는 평균도 달라질 수 있다. 구간이 짧아졌다는 사실을 신뢰도가 높아졌다거나 개인 값 대부분이 이 구간에 모였다는 설명으로 바꾸지 않는다. 표본 수의 비, 구간 길이의 비, 동일한 신뢰도를 따로 확인한다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#14 How confident are you? part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.