표준편차가 같으면 평균 밖으로 멀리 갈 확률도 같을까

\begin{array}{c|ccc} X&-2&2&\\ P&1/2&1/2&\\\hline Y&-10&0&10\\ P&1/50&24/25&1/50 \end{array}

평균과 표준편차가 같으면 절댓값이 3보다 클 확률도 같을까? 두 평균은 0이고

V(X)=4,\qquad V(Y)=100\left(\frac1{50}+\frac1{50}\right)=4.

표준편차는 둘 다 2다. 그러나 $\boxed{P(|X|>3)=0,\ P(|Y|>3)=1/25}$ 로 사건의 확률은 다르다.

X는 항상 0에서 2만큼 떨어진다. Y는 대부분 0이지만 확률 1/25로 10만큼 떨어진다. 같은 분산을 만드는 값과 확률의 조합이 다르다.

사건을 |값|>1로 바꾸면 X의 확률은 1, Y는 여전히 1/25다. 요약값 계산을 마친 뒤에도 사건의 범위와 해당 값의 확률을 별도로 쓰게 하자. 표준편차 하나로 모든 구간의 확률을 대신할 수 없다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#6 Two dreaded words, part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.