공통인 6 하나로 충분조건과 필요조건을 함께 증명할 수 있을까

$x\in U$일 때 $p$는 $q$이기 위한 어떤 조건인지 판단하라. $x=6$에서 두 조건이 모두 참이라는 사실만으로 결론을 낼 수 있는지도 설명하라. 새로 만든 명제 문항이다.

P의 모든 원소가 Q에 속하므로 $p\Rightarrow q$는 참이다. 따라서 $p$는 $q$이기 위한 충분조건이고, $q$는 $p$이기 위한 필요조건이다.

역을 가르는 원소 3

$x=3$에서는 $q$가 참이지만 $p$는 거짓이다. 그러므로 $q\Rightarrow p$는 거짓이며, $p$를 $q$의 필요조건이라고 할 수 없다.

6은 두 조건에 공통인 원소라는 것을 보여 준다. 하지만 다른 모든 원소에서 명제가 성립한다는 근거까지 주지는 않는다. 조건의 방향을 판단할 때는 한 공통 원소보다 집합의 포함관계를 확인한다.

답안에 “p는 q이기 위한 충분조건”과 “q는 p이기 위한 필요조건”을 나란히 쓰게 한다. 같은 방향을 나타내는 두 문장을 집합의 포함관계와 연결한다.

학생이 두 집합이 겹친다는 이유만 적으면, P에 있는 모든 원소가 Q에 있는지를 더 묻는다. 겹치는 원소가 있다는 사실과 한 집합이 다른 집합에 포함된다는 사실은 다르다.

그다음에는 반대 방향을 거짓으로 만드는 원소를 직접 고르게 한다. 3 또는 9를 고르면 조건의 방향을 읽었다고 볼 수 있으며, 6을 고르면 두 조건이 모두 참인 경우만 보고 있는지 확인한다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Compare and Contrast Venn Diagram Template」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.