세 점까지 거리의 제곱 합을 최소로 할 때, 좌표 평균을 바로 써도 될까

\begin{aligned}A&=(0,0),\quad B=(6,0),\quad C=(0,3),\\P&=(x,y),\quad x+y=2.\end{aligned}

직선 위에서 $S=PA^2+PB^2+PC^2$ 를 최소로 하는 P를 구하라.

세 점의 좌표를 평균한 G=(2,1)은 전체 평면에서 S를 가장 작게 한다.

S=3\{(x-2)^2+(y-1)^2\}+30.

그러나 G는 x+y=2를 만족하지 않는다. 이 문항의 정답 점으로 쓸 수 없다.

직선 위 모든 점을 $P=(t,2-t)$ , t는 실수로 놓는다.

S=6\left(t-\frac32\right)^2+\frac{63}{2}.

제곱항은 0 이상이고 t=3/2에서 실제로 0이 된다. 따라서 유일한 최소점은 P=(3/2,1/2), 최솟값은 63/2다. 세 거리의 제곱을 직접 더해도 5/2+41/2+17/2=63/2로 일치한다.

좌표 평균을 구한 줄은 남기고, 그 점이 직선 위에 있는지 먼저 대입하게 한다. 조건을 x+y=3으로 바꾸면 G가 허용되어 최솟값은 30이다. 평균 공식의 계산과 정답 점의 조건을 별개로 확인하는 비교 문항이다.