함숫값은 1, 극한값은 4: 연속을 확인하는 한 문항

문항

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}&(x\ne2),\\ 1&(x=2) \end{cases}

$f(2)$ 와 $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)$ 를 구하라. 또, $x=2$ 에서 연속이 되도록 $f(2)$ 의 값을 고쳐라. 계산을 시작하기 전에 두 질문에서 $x=2$ 를 다루는 방식이 어떻게 다른지 확인해 보자.

f(2)=1

\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\qquad(x\ne2)

\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x+2)=4

함숫값은 문제에서 정한 $x=2$ 일 때의 값이다. 극한값은 $x$ 가 2에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 가까워지는 값이다. 이 문항에서는 두 값이 다르므로 $x=2$ 에서 연속이 아니다.

$x+2$ 를 보고 $f(2)=4$ 라고 쓰는 답은 계산 실수보다 적용 범위를 놓친 답에 가깝다. 약분하여 얻은 식은 $x\ne2$ 일 때의 식이다. 원래의 식과 문제에 따로 제시된 $x=2$ 일 때의 값을 함께 확인해야 한다.

f(2)=4\text{로 고치면}\quad \lim_{x\to2}f(x)=f(2)=4

극한값은 그대로이고 함숫값만 바뀐다. 두 값이 같아지므로 $x=2$ 에서 연속이 된다. 그래프에서도 $x=2$ 에서의 값이 어느 위치에 정해지는지 확인할 수 있다.

학생에게 “ $x=2$ 일 때의 값과 2에 가까워질 때의 값을 각각 표시해 보자”라고 요청해 보자. 정답을 바로 고치기 전에 어느 값을 읽었는지 확인할 수 있다.

Ben Orlin의 글은 함수의 극한 수업에서 공개적으로 나온 오답을 어떻게 다룰지 보여 준다. 오답을 말한 학생을 평가하기보다, 학생이 적용한 생각을 짚는 태도를 이 문항에 적용했다.