수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

두 항의 차와 미분계수, 같은 식처럼 쓰면 빠지는 1

두 항의 차는 2n+1, 미분계수는 2n. 비슷한 식에서 빠지는 1을 확인하고, 구할 대상을 구별하는 고등수학 문항.

an=n2+3(n=1,2,3,…)a_n=n^2+3\qquad(n=1,2,3,\ldots)
an+1−an=2n+1f(x)=x2+3,f′(n)=2n\begin{gathered} a_{n+1}-a_n=\boxed{\phantom{2n+1}}\\ f(x)=x^2+3,\quad f'(n)=\boxed{\phantom{2n}} \end{gathered}

두 빈칸을 같은 값으로 쓰는 답안을 점검하는 고등수학 예시 문항이다.

두 항의 차 2n+1과 미분계수 2n의 비교

같은 이차식, 다른 계산

an+1−an=(n+1)2−n2=2n+1a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1
f(n+h)−f(n)h=2n+h(h≠0)\frac{f(n+h)-f(n)}h=2n+h\qquad(h\ne0)
f′(n)=lim⁡h→0(2n+h)=2nf'(n)=\lim_{h\to0}(2n+h)=2n

두 항의 차에서는 nn에서 n+1n+1로 간다. 미분계수에서는 hh를 0에 가까워지게 한다. 식이 닮았다는 이유로 미분한 결과를 그대로 쓰면 +1+1이 빠진다.

숫자 하나로 확인하기

a2−a1=7−4=3,f′(1)=2a_2-a_1=7-4=3,\qquad f'(1)=2

틀린 답에 계산을 다시 시키기 전에 “첫 두 항의 차는 얼마인가요?”를 묻는다. 이어 “지금 구한 것은 두 항의 차인가요, 미분계수인가요?”로 구할 대상을 구별하게 한다.

계단 사진과 수열·함수의 후속 예시

자료를 고를 때

수열과 도함수를 연결하는 설명은 도움이 된다. 다만 닮은 점 뒤에는 계산할 때 무엇을 바꾸었는지가 남아야 한다. 다음 문항을 an=n2−2na_n=n^2-2n, f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x로 바꾸면 두 결과는 각각 2n−12n-1, 2n−22n-2다. 같은 오답이 이어지는지 짧게 확인할 수 있다.