이차함수 활용 문항, 가로축부터 확인한다

문항

\begin{gathered} s(t)=8t,\quad 0\le t\le2\\ h(t)=-5t^2+10t+\frac32 \end{gathered}

공의 수평 이동거리 $s(t)$ 와 높이 $h(t)$ 를 위와 같이 가정한다. 시간의 단위는 초, 거리와 높이의 단위는 m이다. 공의 높이의 최댓값을 구하고, 수평거리 12m 지점에 있는 높이 5m의 담장을 넘는지 판단하라. 실제 관측 자료가 아닌 수업용 문항이다.

\begin{gathered} h(t)=-5(t-1)^2+\frac{13}{2}\\ t=1\text{일 때 최댓값 }\frac{13}{2} \end{gathered}

s(t)=12\quad\Rightarrow\quad8t=12\quad\Rightarrow\quad t=\frac32

h\!\left(\frac32\right)=\frac{21}{4}>5, \qquad \frac{21}{4}-5=\frac14

$h(t)$ 의 그래프는 위로 볼록하다. $t=1$ 이 주어진 범위에 있으므로 최댓값은 $13/2$ m이다. 담장에서는 공이 담장보다 $1/4$ m 높다. 최고 높이만 구해서는 담장을 넘는지 결정할 수 없다.

담장이 12m 지점에 있다고 $h(12)$ 를 계산하면, 수평거리 12m를 시간 12초로 바꿔 넣은 셈이다. 이 문항에서는 $s(t)=12$ 로 시간을 먼저 구한다. 높이 그래프의 가로축이 시간이라면, 그 그래프를 공의 이동경로라고 설명하지 않는다.

① 가로축이 시간인지 수평거리인지 표시했는가? ② 단위와 시간의 범위를 제시했는가? ③ 최댓값과 담장 지점의 높이를 서로 다른 질문으로 구별했는가?

Dan Meyer의 교과서 문항 비교 글에서는 독자 교사들이 시간에 따른 높이와 공의 이동경로의 혼동을 지적했다. 국내 문항을 준비할 때도 사진을 먼저 고르기보다, 식에 넣는 값의 뜻부터 확인해 보자.