가상의 산에 최고점이 두 개 있어도, 그 둘을 감싸는 등고선은 한 고리일 수 있다. 반대로 두 고리가 한 점에서 닿아 등고선은 이어졌는데, 그 높이보다 높은 부분은 여전히 두 덩어리일 수도 있다. 선과 그보다 높은 영역은 같은 대상을 세는 것이 아니다.
다음은 실제 고도 자료 대신 만든 높이 모형이다. 좌표와 높이는 자체 숫자 단위이며 x,y는 모든 실수, a>0,H는 실수다. 최고 높이 H를 만드는 점을 여기서 봉우리로 센다.
제곱 두 개가 모두0이어야 가장 높다. 봉우리는 (−√a,0)과 (√a,0) 둘이며 높이는 H다. 등고선을 낮추어도 이 두 점의 수는 바뀌지 않는다.
USGS는 등고선을 같은 높이의 점을 잇는 선으로 설명한다. 높이 c의 등고선은 z=c인 위치들, 더 높은 영역은 z>c인 위치들로 구별하자. 한 집합 안에서 계속 움직여 서로 갈 수 있는 점들은 같은 덩어리로 센다. 여기서 ‘계속’은 이동 시각에 따른 x좌표와 y좌표가 연속이라는 뜻이다. 집합 밖으로 건너뛰지는 않는다.
r=H−c는 봉우리보다 얼마나 낮은 높이를 보고 있는지 나타낸 값이다. 등고선은 다음처럼 두 가지 가지로 읽을 수 있다.
r<0이면 비음수인 왼쪽이 음수가 될 수 없어 점이 없다. r=0이면 두 봉우리의 고립점만 남는다. 고리 두 개와 점 두 개는 다른 답이다. 두 경우 모두 z>c인 영역은 비어 있다.
0<r<a²이면 a−√r가 양수여서 x는 음수 구간과 양수 구간으로 떨어져 있다. 각각에서 위쪽·아래쪽 가지가 양끝에서 만나 고리 하나를 만든다. 두 고리 사이를 등고선 위로 이동하려면 x가 음수에서 양수로 바뀌어0을 지나야 한다. 연속함수의 사잇값 정리에 의해 그 순간이 필요하지만, 이 등고선에는 x=0인 점이 없다. 두 고리는 서로 다른 덩어리다.
r=a²는 따로 봐야 한다. x는 −√(2a)부터 √(2a)까지 가능하고, 위·아래 가지가 x=0에서도 만난다. 음수쪽 고리와 양수쪽 고리가 원점을 공유하므로 그 점을 거쳐 서로 갈 수 있다. 고리는 둘이지만 등고선 덩어리는 하나다.
그렇다고 더 높은 영역도 합쳐진 것은 아니다. 원점의 높이는 정확히 c다. z>c라는 엄격한 조건에서는 원점이 빠진다. x=0인 다른 점들은 더 낮다. 높은 영역은 여전히 두 덩어리다. 선을 포함한 연결과 선을 뺀 영역의 연결을 구별해야 한다.
r>a²가 되면 원점도 높은 영역에 들어간다. 등고선의 x범위는 하나이고, 위·아래 가지는 바깥 양끝에서만 만난다. 한 고리의 등고선과 한 덩어리의 높은 영역이 된다. 봉우리는 여전히 둘이다.
| r=H−c | 등고선의 모습 | 등고선 덩어리 | 더 높은 영역 덩어리 |
|---|---|---|---|
| r<0 | 점 없음 | 0 | 0 |
| r=0 | 고립점 두 개 | 2 | 0 |
| 0<r<a² | 떨어진 고리 두 개 | 2 | 2 |
| r=a² | 원점에서 닿는 고리 두 개 | 1 | 2 |
| r>a² | 두 봉우리를 감싼 고리 하나 | 1 | 1 |
높은 영역이 각 구간 안에서 실제로 한 덩어리라는 점도 증명하자. 등고선의 위쪽 가지를 g(x)라 쓰면 그 안에서는 |y|<g(x)다. 한 점에서 같은 x의 y=0까지 세로로 움직인 다음, y=0을 따라 다른 x로 가고 마지막에 도착점까지 세로로 움직인다. 각 x구간 내부에서는 g(x)>0이어서 경로 전부가 높은 영역 안에 남는다. 떨어진 두 구간 사이는 x=0의 영역 점이 없어 연결되지 않는다. 그림이 이어져 보인다는 추측을 실제 경로로 바꾼 것이다.
두 고리가 닿는 높이는 H−a²다. 원점에서 가까운 두 방향의 높이를 비교하면 이 지점의 역할도 드러난다.
한 방향으로는 높아지고 다른 방향으로는 낮아지는 목이다. 이런 안장점, 제곱식의 근 분류, 연속 경로라는 도구 자체가 새 발견인 것은 아니다. 이 글에서는 모든 높이에서 고리 수·선의 덩어리 수·엄격히 높은 영역의 덩어리 수를 나란히 분류했다.
자체 예로 a=1,H=2를 놓자. 높이 c=2에서는 두 점, c=3/2에서는 떨어진 두 고리, c=1에서는 한 점에서 닿은 두 고리다. c=0까지 낮추면 고리 하나가 두 최고점을 함께 감싼다. c=3처럼 최고 높이보다 높게 잡으면 등고선이 없다.
교사는 두 고리가 닿는 그림에서 ‘고리 두 개’, ‘선 덩어리 하나’, ‘높은 영역 두 개’를 각각 적게 한다. 같은 그림에서도 무엇을 세는지에 따라 답이 다르다. 실제 지도의 선 개수만으로 모든 산의 봉우리 수나 지도 정확도·등산 경로를 판단한 결론은 아니다.
착안: USGS, What is a topographic map?의 실제 FAQ 본문에서 같은 높이를 잇는 등고선의 뜻을 읽었다. 원문 지도·사진·장문 번역을 옮기지 않았다. 높이식·조건·자체 예·전체 연결 분류는 새로 구성한 교육용 모형이다.