폭이 같은 둥근 삼각형을 네모 틀에 넣는다. 방향을 바꿀 때마다 조금 옮겨도 된다면 꼭 맞게 들어간다. 그렇다면 축을 한 번 고정한 뒤, 그 자리에서 한 바퀴 돌려도 들어갈까? 두 질문은 도형의 위치를 바꿀 수 있는 시점이 다르다.
한 변 d>0인 정삼각형의 꼭짓점 A,B,C를 중심으로 반지름 d의 원판을 그린다. 세 원판의 공통부분 K가 뢸로 삼각형이다. 어느 방향의 두 평행 지지선 사이 거리도 d라는 알려진 성질을 준다. 두께 없는 평면 모형이고 경계 접촉은 허용한다. 마찰이나 실제 공구 제작을 검증하는 실험은 아니다.
먼저 방향마다 위치를 새로 맞춰도 된다면 최소 틀 크기는 d다. 가로와 세로의 폭이 모두 d이므로, 그때의 왼쪽 끝과 아래 끝을 틀에 맞추면 들어간다. d보다 작은 틀은 가로 폭부터 부족하다.
이번에는 점 U 하나를 회전축으로 고정하고 정사각형도 고정한다. U는 도형 안으로 제한하지 않고 평면 어디에서든 골라도 된다. 꼭짓점 하나라도 U에서 거리가 r이면, 그 점은 한 바퀴 동안 반지름 r인 원 전체를 지난다. 고정 틀의 한 변은 적어도 2r여야 한다.
정삼각형의 중심 O를 원점으로 두고 R=d/√3라 쓰자. 꼭짓점은 A=(0,R), B=(−d/2,−R/2), C=(d/2,−R/2)다. 임의 축 U=(h,k)에 대해 거리 제곱을 전개하면 일차항이 서로 없어져
세 거리의 제곱 중 최댓값은 그 평균 이상이다. 따라서 중심 밖에 축을 옮겨서는 틀을 줄일 수 없다. U가 O와 다르면 마지막 부등식은 엄격하다.
하한을 구한 것으로 끝내면 안 된다. 세 꼭짓점만 원 안에 있다고, 바깥으로 부푼 곡선 부분까지 들어간다고 단정할 수 없기 때문이다. A를 중심으로 하는 아래쪽 경계 호의 점은 다음처럼 쓴다.
제곱근은 √3d/2 이상이어서 마지막 부등식이 성립한다. 다른 두 호는 이 호를 O 둘레로 120도씩 돌린 것이므로 같은 거리 제한을 만족한다. 내부 점은 경계 두 점을 잇는 선분에 놓이고, 원판은 그 선분도 포함한다. K 전체가 반지름 R의 원판 안에 있다.
이제 O를 축으로 정해 한 바퀴 돌려도 그 원판을 벗어나지 않는다. 중심 O이고 한 변 2R인 틀이 실제로 가능하다. 최소 크기를 만드는 축은 앞의 엄격 부등식 때문에 O 하나다. 꼭짓점 하나의 회전 원이 틀 안에 있어야 하므로, 최소 틀의 중심도 O로 정해진다.
| 허용하는 움직임 | 가능한 최소 한 변 |
|---|---|
| 방향마다 위치를 다시 맞춤 | d |
| 한 축·한 틀을 고정해 한 바퀴 회전 | 2d/√3 |
예를 들어 d=1, s=11/10인 틀에는 어느 자세도 위치를 맞추면 들어간다. 하지만 (11/10)²<4/3이므로 어떤 축을 택해도 제자리에서 한 바퀴 돌지는 못한다. 자세별로 가능한 배치가 있다는 말과, 한 배치가 모든 자세에서 가능하다는 말을 바꾸어 읽지 않는다.
교사는 “들어간다” 다음에 매번 옮겨도 되는지, 축과 틀을 계속 고정하는지 적게 한다. 기존의 두 자세 축 높이 계산이나 같은 폭·넓이 비교를 다시 문제로 세지 않고, 모든 축에 대한 하한과 곡선 전체의 가능성을 함께 확인한다.
착안: Swiss Science Center Technorama, Weird Wheels, 영어 설명 PDF4–5. 일정한 폭과 방향별 정사각형 배치에서 착안해 고정 축의 최소 틀 질문·조건·증명을 직접 작성했다. 원문 활동 지시·도판·공구 성능 설명을 옮기지 않았다.