같은 줄의 길이를 줄이거나 장력만 높여 첫 진동수를 같게 맞춘다면, 높은 진동 성분도 모두 같을까? 첫 성분을 맞출 수 있다는 것부터 확인해야 한다. 길이를 너무 많이 늘리면, 반대쪽 줄을 아무리 느슨하게 해도 양의 장력으로 같은 첫 성분을 만들 수 없는 경우가 있다.
실제 악기의 소리를 측정한 대신, 균질 줄을 위한 식에서 착안한 정확한 교육용 모형을 정한다. 길이 l, 장력 t, 단위 길이당 질량 μ와 굽힘 계수 K는 모두 양수다. 차수 n은 양의 정수이고 Fₙ은 해당 진동 성분의 양의 진동수다. 이 모형에서는 다음 식을 모든 차수에 그대로 적용한다.
첫 성분은 n=1을 넣은 F₁이다. 굽힘을 무시한 기준 주파수와 이를 혼동하지 않는다. 원전은 굽힘이 있는 줄의 식을 작은 강성에 대한 근사로 설명하며, 실제 음색에는 다른 요인도 있다고 밝힌다. 여기서는 마찰·감쇠·줄의 감김·받침과의 결합·진동 크기·사람이 느끼는 음높이를 계산하지 않는다. 실제 피아노의 조율 지침도 아니다.
기준 길이 L과 장력 T를 고정한다. A는 장력을 T로 유지한 채 길이만 λL로 바꾸고, B는 길이를 L로 유지한 채 장력을 τ로 바꾼다. λ>0, τ>0이며 μ와 K도 유지한다. 두 방식의 첫 성분이 같도록 B의 장력을 골라 보자. 진동수가 양수이므로 두 제곱을 같게 놓아도 된다.
이 값이 유일한 후보지만, 음수 장력은 허용하지 않았다. 식을 구했다는 이유만으로 모든 길이에서 가능하다고 말하면 안 된다. τ>0에 양수 λ⁴를 곱한 뒤 z=λ²로 놓으면 이차부등식이 된다.
두 근 중 하나는 음수다. z=1에서는 왼쪽이 −1이므로 양의 근 z₊는 1보다 크다. 따라서 짧게 만든 모든 줄과 어느 정도 늘린 줄까지는 첫 성분을 맞출 수 있다. 그러나 λ=√z₊에서는 필요한 장력이 0이다. 양수 장력 조건 때문에 이 경계는 포함되지 않는다. 그보다 긴 A에는 양의 장력으로 맞출 B가 없다. 허용 구간의 후보 장력을 처음 식에 되돌려 넣으면 첫 성분이 실제로 같아져 충분성도 확인된다.
이제 같은 첫 성분을 가진 두 줄에서 높은 차수도 비교한다. A의 n번째 진동수를 Aₙ=Fₙ(λL,T), B의 값을 Bₙ=Fₙ(L,τ)로 쓰자. 위에서 고른 τ를 그대로 넣어 제곱 차를 정리하면 다음과 같다.
차수 n≥2에서는 λ⁻⁴−1을 제외한 인수가 모두 양수다. 그래서 A를 짧게 만든 경우에는 A의 높은 성분이 모두 B보다 높다. A를 길게 만든 허용 경우에는 반대로 모두 낮다. 제곱을 비교했지만 진동수 자체도 양수라 같은 순서가 유지된다.
| 길이 변화 | 첫 성분을 맞추는 B | n≥2의 비교 |
|---|---|---|
| 0<λ<1 | 양의 장력 하나 | A가 모두 높다. |
| λ=1 | τ=T | 모두 같다. |
| 1<λ<√z₊ | 양의 장력 하나 | A가 모두 낮다. |
| λ≥√z₊ | 없다. | 같은 첫 성분의 비교 자체가 불가능하다. |
첫째와 둘째 성분이 함께 같은 경우도 찾을 수 있다. K>0에서 n=2의 차가 0이 되려면 λ=1이어야 한다. 그러면 τ=T다. 서로 다른 길이를 장력만 조절해 첫 성분뿐 아니라 둘째 성분까지 같은 상태로 만드는 것은 이 모형에서 불가능하다.
굽힘을 없앤 K=0 모형은 따로 계산하자. 이때 τ=T/λ²로 정하면 모든 양수 λ에서 가능하며, 모든 차수의 진동수도 같다. 굽힘이 없는 알려진 길이·장력 비례 관계만으로 높은 성분을 판단하면, K>0에서 남은 네제곱 항을 놓친다. K=0은 β가 분모에 있는 근 공식의 단순 대입 대상이 아니다.
계산을 확인하는 자체 예로 β=1을 쓰면 λ=1/2에서 τ=19T, λ=5/4에서 τ=(31/625)T가 된다. 그러나 λ=13/10이면 필요한 장력이 음수라 불가능하다. 이 숫자는 실제 악기의 재료나 안전 장력을 제시한 것이 아니며, 정확히 정한 대수 모형의 경계를 확인하는 예다.
교사는 첫 성분을 맞추는 식과 양의 장력 조건을 서로 다른 줄에 쓰게 한다. 비교가 가능한 구간을 먼저 정한 뒤, 모든 높은 차수의 부호가 같은 이유를 인수의 부호로 설명하게 한다. 두 성분까지 같다는 요구와 첫 성분만 같다는 요구는 같은 조정 문제가 아니다. 실제 소리가 사람에게 똑같이 들리는지까지 이 계산으로 판단하지 않는다.
착안: Balázs Bank, Physics-Based Sound Synthesis of the Piano, Helsinki University of Technology Report 54, §2.2.2의 PDF 23~24쪽 텍스트와 전체 페이지 이미지를 읽었다. 첫 기준 주파수와 굽힘 항의 구별만 사용했다. Martin Keane, Understanding the Complex Nature of Piano Tone, New Zealand Acoustics 17(1)의 PDF 1쪽도 읽었다. 알려진 진동수 근사식 자체는 새 문항으로 세지 않으며, 두 조정 방식의 허용 길이와 모든 차수 비교를 묻는 문항·증명·수치는 자체 작성했다. 원문 도표·음원·측정값·청중 반응을 옮기지 않았다.