같은 팬을 같은 각도로 기울여도, 어느 방향으로 기울였는지에 따라 남는 물이 다를 수 있다. 그런데 처음에 더 많이 남긴 방향이 끝까지 유리할까?
밑면이 2a×a, 옆면 높이가 H인 열린 직육면체 팬을 생각한다. a,H>0이며 두께는 무시한다. 각 비교는 팬을 수평으로 놓고 물을 테두리까지 채운 상태에서 따로 시작한다. 물을 보충하지 않고 한 방향으로 천천히 기울여, 낮은 테두리보다 높은 물은 모두 흘러나가게 한다. 액면은 중력에 수직인 평면이고, 출렁임·표면장력·증발은 넣지 않는 자체 정적 모형이다.
θ는 바닥이 수평에서 기울어진 각이며 0<θ<90도다. φ는 바닥 위에서 낮은 꼭짓점에서 멀어지는 방향과 긴 변 사이의 각이다. A는 긴 대각선 방향으로 φ=arctan(1/2), B는 φ=45도로 기울인다. 각 방향 안에서는 처음부터 θ까지 기울기를 늘리기만 한다. 이미 쏟은 뒤 팬을 다시 세워 물을 복구하는 비교가 아니다.
모든 a,H와 θ에서 어느 방향에 물이 더 많이 남는지 구하라. 두 양이 같아지는 양의 각은 몇 개인가? 바닥 일부가 마르는 경우도 포함해 판정하라. 실제 제품의 용량·조리 성능이나 실험 결과를 묻는 문제는 아니다.
낮은 테두리 꼭짓점을 (0,0,H)로 놓고, 바닥의 좌표를 0≤x≤2a, 0≤y≤a로 잡는다. 팬 좌표에서 액면 아래 물 높이는 다음과 같다. 괄호의 값이 음수면 바닥에 물이 없는 것이므로 0으로 바꾼다.
기울기를 늘릴수록 각 위치의 허용 높이는 줄어든다. 따라서 처음 가득 찬 팬에서 단조롭게 기울여 넘친 물을 버리는 조건은 이 높이 아래 영역을 실제로 채우는 조건과 맞는다.
h=H/(a tanθ), p=2cosφ, q=sinφ라 하자. 양수 부분을 r₊=max(r,0)로 쓰면 물의 양 V는 다음 식으로 계산된다.
F는 길이로 정규화한 높이를 밑면 전체에서 평균한 값이다. 밑면의 정규화 넓이가 2이므로 실제 부피 식에는 2가 남는다. 세제곱 식은 물 높이를 먼저 y, 이어 x 방향으로 적분해서 얻는다. 물이 없는 부분의 음수 높이를 그대로 적분하면 이 식을 얻지 못한다.
u=1/√5, v=1/√2라 놓으면 A는 (p,q)=(4u,u), B는 (2v,v)다. D(h)=F(h;4u,u)−F(h;2v,v)의 부호만 비교하면 된다. 두 실제 부피에 같은 양수 2a³tanθ가 곱해져 있기 때문이다.
바닥의 꼭짓점이 액면에서 빠지는 경계들을 정렬하면 u<v<2v<4u<3v<5u다. D를 두 번 미분한 결과를 모든 구간에서 확인하자. 끝점에서는 양옆의 식이 같은 값으로 이어진다.
| h 구간 | D″(h) |
|---|---|
| 0<h<u | h/4 |
| u<h<v | 5u/4−h |
| v<h<2v | 5u/4−v |
| 2v<h<4u | h+5u/4−3v |
| 4u<h<3v | 25u/4−3v−h/4 |
| 3v<h<5u | 5(5u−h)/4 |
| 5u<h | 0 |
e₁=5u/4, e₂=3v−5u/4라 놓으면 D″의 부호는 e₁까지 양수, e₁과 e₂ 사이에서 음수, e₂와 5u 사이에서 양수다. e₁은 u와 v 사이, e₂는 2v와 4u 사이에 있다. 4u부터 3v의 줄도 양끝 값이 모두 양수여서 추가 전환이 없다.
D′(0)=0이다. h≥5u에서는 바닥 전체에 물이 있어 D=(3v−5u)/2<0으로 일정하므로 D′(5u)=0이다. 따라서 D′는 양수로 출발한 뒤 한 번만 0을 지나 음수가 되고, 마지막에 0으로 돌아온다. 실제로 D′(v)>0, D′(2v)<0이어서 그 전환은 v와 2v 사이에 있다. D는 처음 0에서 커졌다가 한 번의 최댓값 뒤 줄어들어 음수에 도달한다. 그러므로 양수 h에서 D=0인 곳은 정확히 하나다.
그 값을 h라 하자. D(v)=(17√5−25√2)/240>0, D(2v)=(31√5−50√2)/120<0이므로 v<h<2v다. 이 구간의 식만 사용하면 h*를 정확히 정할 수 있다.
방정식의 두 대수적 근을 모두 팬의 답으로 쓰지 않는다. 이 이차식은 v<h<2v에서만 D를 나타내며, 그 구간에 있는 근은 하나다. 다른 근은 적용 구간 밖에 있다.
θ가 커지면 h는 작아진다. 따라서 최종 결과는 다음과 같다.
| 기울기 | 남는 물의 양 |
|---|---|
| 0<θ<θ* | A가 B보다 적다 |
| θ=θ* | A와 B가 같다 |
| θ*<θ<90도 | A가 B보다 많다 |
수평인 θ=0에서는 처음 물의 양 2a²H로 같다. 90도는 이번 열린 범위에 없으며, 가까워질수록 두 양 모두 0에 접근한다. 아주 크게 기울여 h≤u가 되면 낮은 꼭짓점 근처에 삼각형 물 영역만 남는다. 이때 A와 B의 양의 비는 5:4다. 반대로 바닥 전체에 물이 있는 작은 기울기에서는 A의 양이 더 작다. 초반의 우열을 끝까지 연장할 수 없는 이유다.
교사는 먼저 바닥 전체가 젖어 있다는 가정이 언제 깨지는지 확인하게 한다. 양수 부분은 계산을 꾸미는 기호가 아니라 물이 없는 바닥을 제외하는 조건이다. 이어 전환각 하나를 수치로 찾는 일과, 다른 전환각이 없음을 증명하는 일을 구별한다. 이 문항은 모든 방위 중 최적 방향을 찾거나 모든 팬 비율을 분류한 결과가 아니다.
Nordic Ware의 용량 안내는 팬의 각 공간을 맨 위까지 물로 채워 용량을 확인하는 방법을 설명한다. 그 사물 배경에서 질문을 만들었다. 원문의 반죽량·굽는 시간 안내를 기울인 물의 성질로 옮긴 것이 아니며, 실제 팬의 테두리 모양·두께·표면과 유체 실험은 이 직육면체 모형에 넣지 않았다.
착안: Nordic Ware, Pan Capacity & Filling Guide. 원문의 물로 팬 용량을 확인한다는 관점만 참고했다. 팬의 비율·기울임 조건·두 방위·전범위 순서와 증명은 자체 교육용 모형이며 제품의 실측값이나 원문 사진을 사용하지 않았다.