난방을 켰다 껐다 반복하면, 온도도 정확히 두 값으로 되풀이될까? 실제 방의 온도를 측정한 대신 다음 자체 규칙을 사용한다. 온도 상태 x는 0과 1 사이의 무차원 수이고, 같은 길이의 시간 구간마다 한 번 판단한다. 0<a<1, 0<c<1을 정한다. 구간 시작에 x<c이면 그 구간 내내 켜고, x≥c이면 내내 끈다. 중간에 다시 판단하거나 작동을 늦추는 규칙은 없다.
모든 시작 상태에서, 처음의 유한한 구간을 지나면 켜기와 끄기가 한 번씩 계속 교대하는 c의 범위를 구하라. 서로 다른 두 상태 u,v가 f(u)=v, f(v)=u를 만족하는 범위도 같은가? 특히 a=1/2, c=1/3, x₀=0을 확인하라. 여기서 작동의 교대와 온도 상태의 정확한 반복은 다른 조건이다.
두 상태가 한 번 켜지고 한 번 꺼진 뒤 돌아온다면 낮은 상태 ℓ과 높은 상태 h는 다음처럼 정해진다.
실제 규칙과 맞으려면 낮은 상태는 켜기 쪽, 높은 상태는 끄기 쪽에 있어야 한다. 따라서 정확한 두 상태 반복은 ℓ<c≤h일 때 존재한다. 같은 작동만 두 번 쓰는 서로 다른 두 상태의 반복은 없다. 켜기만 쓰면 두 단계 식의 고정값은 1이지만 1<c는 불가능하고, 끄기만 쓰면 0이지만 0≥c는 불가능하기 때문이다.
이제 모든 시작 상태에서 작동이 교대할 조건을 따로 증명하자. 켜기만 이어지면 상태는 1로 가까워져 결국 c 이상이 된다. 끄기만 이어지면 0으로 가까워져 결국 c보다 작아진다. 따라서 유한 번 뒤에는 c 이상의 상태를 끈 직후의 낮은 상태 y가 나온다. 이 상태는 ac≤y<c다.
ℓ≤c≤h라고 가정한다. 다음에 켠 상태 z와, 다시 끈 상태 y′를 계산한다.
마지막 부등식의 조건을 확인해야 한다. y≥ac에서 z−c≥(1−a)[1−(1+a)c]≥0이다. 또한 y′−ac≥a(1−a)[1−(1+a)c]≥0이다. y<c에서 y′<a²c+a(1−a)≤c이며 마지막 부등식은 c≥ℓ와 같다. 따라서 한 번 낮은 구간에 들어오면 이후 켜기와 끄기가 계속 교대한다.
낮은 상태만 y₀,y₁,…로 세자. 켜기와 끄기를 한 번씩 합성한 두 단계 식을 반복하면 다음 관계를 얻는다.
등비수열의 공비 a²는 0과 1 사이이므로 낮은 상태는 ℓ, 그 다음 높은 상태는 h로 가까워진다. 반대로 어떤 시작에서든 결국 교대한다고 가정하면 같은 식으로 두 극한이 ℓ,h다. 모든 낮은 상태가 c보다 작고 높은 상태가 c 이상이므로 ℓ≤c≤h가 필요하다. 따라서 모든 시작 상태의 결국 교대는 ℓ≤c≤h와 동치다. 이 범위를 벗어나면 어느 시작도 결국 한 번씩의 교대를 유지할 수 없다. 그 밖의 긴 작동 패턴을 여기서 모두 분류한 것은 아니다.
두 범위는 아래쪽 경계에서 다르다. c=ℓ이면 작동은 결국 교대하지만 정확한 두 상태 반복은 없다. 낮은 상태는 c보다 작게 남아 c에 가까워질 뿐이다. c에 정확히 도달하면 규칙은 끄기를 선택하므로 f(c)=ac이고, 이것은 h와 다르다.
a=1/2, c=1/3, x₀=0에서는 0,1/2,1/4,5/8,5/16,…이 나온다. 모든 k≥0에서 다음 식이 성립한다.
짝수 번째는 항상 1/3보다 작고 홀수 번째는 1/3 이상이므로 작동은 처음부터 교대한다. 두 부분의 극한은 1/3과 2/3이지만 f(1/3)=1/6이다. 이 두 극한값이 실제로 서로를 오가는 상태라는 결론은 성립하지 않는다. 전체 수열도 두 다른 극한을 가진 부분들 때문에 한 값으로 수렴하지 않는다.
교사는 “켜고 끄는 순서가 반복된다”와 “온도 상태가 같은 두 수로 돌아온다”를 별도의 문장으로 적게 한다. 먼저 두 단계 식을 풀고 나서 각 값이 실제 어느 조건에 속하는지 확인한다. 경계에서는 극한값을 함수에 바로 넣기 전에, 그 값에서 선택되는 작동을 다시 읽어야 한다. 제공 교재의 합성함수와 등비수열의 극한을 사용했지만, 모든 시작 상태의 교대 범위는 위 부등식으로 직접 증명했다.
착안: Energy Saving Trust, The most economical ways to use your central heating. 원문에서 설정 온도에 따라 난방을 켜고 끈다는 사물 배경만 참고했다. 이산적인 판단 시각, 두 식, 경계 조건과 질문은 자체 교육용으로 정한 것이다. 실제 난방기의 온도 변화, 절약 효과, 안전성이나 설정 방법을 검증한 결과는 아니다.