두 값 A,B를 구하고 같다고 쓴 답을 검토한다. 구간 길이1이므로 A는 입력을 같은 비중으로 본 함수값 비의 평균이다. g는 모든 입력에서 양수다.
f/g=x+1이어서 A=3/2다. 각각 적분하면 ∫f=7/3, ∫g=3/2이므로 B=14/9다. 두 값의 차는 B−A=1/18이며0이 아니다.
B는 g가 큰 입력의 비에 더 큰 비중을 주는 계산으로 읽을 수 있다. 실제로 B=∫g(x){f(x)/g(x)}dx/∫g(x)dx다. A는 그 비에 같은 길이의 비중을 주고 B는 g의 값으로 비중을 바꾼다.
같은 구간을 썼고 분모가0이 아니어도 적분을 나눗셈 안팎으로 옮길 수는 없다. 학생이 두 적분을 약분한다고 적으면, 적분 안에 있는 나눗셈의 분모 g(x)와 적분을 끝낸 뒤의 수 ∫g를 다른 색으로 표시하게 한다. 각각의 계산과 비교는 간단하지만 서로 다른 평균을 나타낸다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.