이 함수가 실수 전체에서 증가함수일 수 있을까?
증가함수라면 −1<1에서 f(−1)<f(1)이어야 한다. 그러나 주어진 대칭 조건은 두 값이 같다고 한다. 따라서 증가함수는 불가능하다.
조건을 “u<v이면 f(u)≤f(v)”로 약하게 바꾸면 상수함수는 가능하다. 이때는 상수함수만 남는다. 임의의 u,v에 대해 T>|u|,|v|를 택하면
대칭으로 양 끝값이 같으므로 f(u)=f(v)다.
x²의 그래프는 좌우 대칭이지만 실수 전체에서 증가하지 않는다. 그림의 오른쪽만 보고 전체 정의역에 증가 조건을 붙이지 않는다. 답안에서 <와 ≤가 달라졌을 때 가능한 함수가 어떻게 달라지는지 두 정의를 먼저 적게 한다.
출처·착안: DMoRanSky, 「「高中数学」易错点以及不自然处整理」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.