구의 중심까지 5이면 구 위의 점까지의 거리는 언제 3일까

C=(1,2,2),\quad S:(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=4,\quad Q=(4,6,2)

Q에서 구 위 점 P까지의 거리 PQ의 최솟값과 최댓값을 구하라. 중심까지의 거리 QC=5만 적은 답도 검토한다.

구 위 점은 모두 CP=2다. 삼각형의 두 변 길이와 나머지 변의 관계에서

3\le PQ\le7

이다. 이 범위가 실제로 실현되는지도 확인해야 한다. C에서 Q로 향하는 단위 방향은 (3/5,4/5,0)이므로

P_{\min}=(11/5,18/5,2),\qquad P_{\max}=(-1/5,2/5,2).

두 점은 구 위에 있고 Q까지의 거리는 각각3과7이다.

QC=5는 중심까지의 거리다. 중심 C는 구 위 점이 아니므로 문제에서 고를 수 있는 P가 아니다. 중심을 구한 계산은 출발점이지만 최단거리의 답은 아직 아니다.

교사는 $3\le PQ\le7$ 을 쓴 뒤 등호가 되는 점을 적게 한다. 부등식만으로는 특정 조건 아래에서 그 값이 가능한지 알 수 없으며, 여기서는 C,Q,P가 같은 직선 위에 놓일 때 두 끝이 실현된다.

Q가 구의 안쪽에 있어 QC=1이라면 최솟값은1, 최댓값은3이다. 그 경우에도 QC−2를 그대로 써서 음수 거리를 만들면 안 된다. 중심까지의 거리와 반지름의 대소를 먼저 확인한다.

수업에서는 외부 점의 답3·7을 구한 다음 내부 점 조건을 짧게 바꾸어, 거리의 부호와 선택 가능한 점을 다시 읽게 한다.

각 좌표를 구의 방정식에 대입하면 제곱합4가 된다. 거리의 최솟값을 구한 뒤 가까운 점 자체도 구 위에 있는지 확인하면, 중심을 정답 점으로 쓴 오류를 찾기 쉽다.