두 급수의 합을 곱하면 같은 번호 항만 곱한 값은 아니다

A=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=1,\qquad B=\sum_{n=1}^{\infty}3^{-n}=\frac12.

두 합의 곱을 같은 번호의 항끼리 곱한 합으로 바꿀 수 있을까?

첫 두 항의 곱	$1/3$	$1/9$
$1/2$	$1/6$	$1/18$
$1/4$	$1/12$	$1/36$

유한한 합을 먼저 곱해도 번호가 다른 항의 곱 $1/18,1/12$ 가 나타난다. 같은 번호만 고르면 이 항들을 놓친다.

AB=\boxed{\frac12},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}3^{-n} =\sum_{n=1}^{\infty}6^{-n}=\boxed{\frac15}.

등비급수 세 개는 각각 공비 $1/2,1/3,1/6$ 이라 수렴한다. 수렴 여부를 확인한 뒤 두 다른 계산을 비교하자. 곱셈 표에서 어떤 번호 쌍을 남겼는지 표시하면 빠진 항이 드러난다.

출처·착안: Geometric Series – Far Out. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.