같은 글자가 이웃하지 않는 서로 다른 줄의 수를 구하라. 같은 글자 둘은 구별하지 않는다.
전체는6!/(2!2!2!)=90줄이다. 같은 색 두 개가 붙는 사건을 E_A,E_B,E_C로 둔다. AA를 한 묶음으로 세면 E_A는5!/(2!2!)=30줄이다. 다른 두 사건도 같다.
AA와BB가 함께 붙으면 두 묶음과C,C 네 대상이므로4!/2!=12줄이다. 세 쌍이 모두 붙으면 세 묶음의 순서3!=6줄이다. 따라서 적어도 한 같은 색 이웃이 있는 줄은
답은90−60=30줄이다.
같은 쌍 안에서 2를 곱하지 않는다
AA는 두 글자가 같으므로 내부를 바꾸어도 같은 배치다. AA 묶음의 내부 순서가2가지라고 곱하면 잘못 중복 센다. 반대로 E_A,E_B,E_C를 단순히 더하면 두 쌍 이상 붙은 줄을 여러 번 센다.
ABCABC는 허용되고 AABBCC는 허용되지 않는다. AABBCC는 세 사건에 모두 들어가 처음 세 번 더해지고, 세 교집합에서 세 번 빠진 뒤 마지막에 한 번 돌아온다. 최종적으로 한 줄로 세어지는지 확인한다.
목록을 학생에게 맡기려면 첫 글자A를 고정한 경우부터 분류할 수도 있다. 다만 그 목록에서 같은 조건이 반복되는지 확인하는 기준이 필요하다. 해설의 세 사건 계산은 나열 목록을 검산할 다른 방법이 된다.
문항에 색별 개수가 두 개라는 전제가 있어 같은 색 이웃 사건을 한 묶음으로 표현할 수 있다. 개수가 더 많아지면 어느 이웃을 세었는지 다시 정해야 한다.90이라는 전체 수가 같더라도 정육면체 면 배치의 이웃 관계와 이 줄의 이웃 관계는 다르다.
출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.