이 식을 만족하는 점들을 나타내라. 두 인수가 모두 0이어야 하므로 원과 직선의 공통점이라는 답을 검토한다.
실수 두 수의 곱이 0이려면 적어도 한 수가 0이어야 한다. 따라서 조건은
이다. 원점 중심 반지름 1인 원과 직선 x=2의 합집합이다.
원과 직선은 만나지 않는다. 원 위 점의 x좌표는 −1 이상 1 이하이므로 x=2인 점이 없다. 하지만 곱이 0인 점은 무수히 많다. 공통점이 없다는 말과 원래 방정식의 해가 없다는 말은 다르다.
두 점을 직접 대입한다
(1,0)은 첫 인수를 0으로 만들고 둘째 인수는 −1이다. (2,100)은 둘째 인수를 0으로 만들고 첫 인수는 10003이다. 둘 다 원래 곱은 0이다. 두 인수가 동시에 0이어야 한다는 주장은 이 두 예에서 깨진다.
반대로 두 식을 각각 0으로 놓고 동시에 만족하라고 주면 교집합을 묻는 새 문항이 된다. 곱 한 식과 두 등식의 연립을 같은 조건으로 옮기지 않는다.
방정식 전체에 제곱항이 보인다는 이유로 하나의 원이라고 답하지 않는다. 곱을 이루는 인수의 역할을 먼저 확인하면 서로 다른 두 도형이 한 방정식의 해에 함께 들어 있는 구조가 드러난다.
수업에서는 해를 구하는 연결말을 실제 문장으로 쓰게 한다. ‘또는’이라는 조건과 합집합 그림이 일치하는지, ‘동시에’라는 조건과 교집합 그림이 일치하는지를 두 대입 예로 함께 검사한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.