가로와 세로의 변화율을 그냥 더하면 넓이의 변화를 놓친다

W_{\rm new}=1.3W,\qquad H_{\rm new}=1.1H,\qquad A=WH

가상의 직사각형 설계에서 가로는 30%, 세로는 10% 커졌다. 넓이가 40% 커졌다는 설명을 검토한다. 넓이의 배율과 그 로그를 각각 표현하고 더하기가 정확하게 적용되는 대상은 무엇인지 설명하라.

\frac{A_{\rm new}}A=1.43,\qquad \log\frac{A_{\rm new}}A=\log1.3+\log1.1

넓이의 배율은 가로 배율과 세로 배율의 곱 1.3×1.1=1.43이다. 따라서 증가율은 43%다. (1+0.3)(1+0.1)을 전개하면 1+0.3+0.1+0.03이어서 두 증가율만 더한 값은 교차항 0.03을 놓친다. 한편 양의 배율의 로그를 취하면 곱이 합으로 바뀌어 log1.3+log1.1이 정확하다. 증가율 자체와 배율의 로그는 같은 수가 아니므로 이 두 덧셈을 혼동해서는 안 된다. 작게 변하는 경우 교차항을 무시하는 근사가 있을 수 있지만, 그때도 무엇을 생략했는지 식에 남겨 두어야 한다. 상용로그를 사용하면 넓이 배율의 로그도 두 길이 배율의 로그 합으로 구할 수 있다.

교사 질문: 가로가 30% 커지고 세로가 10% 작아질 때에는 교차항의 부호가 어떻게 바뀌는지 물어보자.

출처·착안: A Radical Approach to the Logarithm. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.