두 조건을 함께 쓴 가정에서 하나를 지우면 결론이 남을까

“p이고 q이면 r이다”는 참이다. 여기서 p만으로 r, q만으로 r도 각각 참이라고 결론 내릴 수 있는지 검토한다.

두 조건을 함께 만족하면 0≤x≤0이므로 x=0이다. 그러나 p만 남기면 양수도 허용되고, q만 남기면 음수도 허용된다.

따라서 p→r과 q→r은 둘 다 거짓이다. 가정에서 조건을 지우는 것은 허용되는 값의 범위를 넓히는 일이다. 원래 결론이 넓어진 모든 값에서도 성립하는지는 새로 확인해야 한다.

반대로 p→r과 q→r이 모두 참이라고 주어졌다면 p 또는 q인 경우에도 r이 참이다. 어느 쪽 가정을 만족하든 그 가정에서 이미 r이 따라오기 때문이다.

문항을 줄이려고 ‘이고’를 삭제했다면 계산 길이만 확인하지 않는다. 가정의 범위가 실제로 달라졌는지 표시하고, 남은 조건만 만족하는 값을 하나씩 넣어 본다. 두 조건의 공동 작용과 각각의 충분조건을 구별하는 점검이다.

출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.